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高一数学必修一:各章知识点总结

2020-11-19高一

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  第一章集合与函数概念

  一、集合有关概念

  1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。

  2、集合的中元素的三个特性:

  1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性

  说明:1对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

  2任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。

  3集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。

  4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

  3、集合的表示:…如我校的篮球队员,太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋

  1.用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5

  2.集合的表示方法:列举法与描述法。

  注意啊:常用数集及其记法:

  非负整数集即自然数集记作:N

  正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

  关于“属于”的概念

  集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A记作a?A

  列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。

  描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

  ①语言描述法:例:不是直角三角形的三角形

  ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是x?R|x-3>2或x|x-3>2

  4、集合的分类:

  1.有限集含有有限个元素的集合

  2.无限集含有无限个元素的集合

  3.空集不含任何元素的集合例:x|x2=-5}

  二、集合间的基本关系

  1.“包含”关系—子集

  注意:有两种可能1A是B的一部分,;2A与B是同一集合。

  反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

  2.“相等”关系5≥5,且5≤5,则5=5

  实例:设A=x|x2-1=0B=-1,1“元素相同”

  结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B

  ①任何一个集合是它本身的子集。AíA

  ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB或BA

  ③如果AíB,BíC,那么AíC

  ④如果AíB同时BíA那么A=B

  3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

  规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

  三、集合的运算

  1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.

  记作A∩B读作”A交B”,即A∩B=x|x∈A,且x∈B.

  2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B读作”A并B”,即A∪B=x|x∈A,或x∈B.

  3、交集与并集的性质:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,

  A∪φ=A,A∪B=B∪A.

  4、全集与补集

  1补集:设S是一个集合,A是S的一个子集即,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集或余集

  记作:CSA即CSA=x|x?S且x?A

  S

  CsA

  A

  2全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

  3性质:⑴CUCUA=A⑵CUA∩A=Φ⑶CUA∪A=U

  二、函数的有关概念

  1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有确定的数fx和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=fx,x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合fx|x∈A叫做函数的值域.

  注意:2如果只给出解析式y=fx,而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.

  定义域补充

  能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:1分式的分母不等于零;2偶次方根的被开方数不小于零;3对数式的真数必须大于零;4指数、对数式的底必须大于零且不等于1.5如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.6指数为零底不可以等于零6实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

  又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。

  构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域

  再注意:1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等或为同一函数2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致两点必须同时具备

  见课本21页相关例2

  值域补充

  1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.2.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。

  3.函数图象知识归纳

  1定义:在平面直角坐标系中,以函数y=fx,x∈A中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点Px,y的集合C,叫做函数y=fx,x∈A的图象.

  C上每一点的坐标x,y均满足函数关系y=fx,反过来,以满足y=fx的每一组有序实数对x、y为坐标的点x,y,均在C上.即记为C=Px,y|y=fx,x∈A

  图象C一般的是一条光滑的连续曲线或直线,也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

  2画法

  A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以x,y为坐标在坐标系内描出相应的点Px,y,最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

  B、图象变换法请参考必修4三角函数

  常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换

  3作用:

  1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。

  发现解题中的错误。

  4.快去了解区间的概念

  1区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;2无穷区间;3区间的数轴表示.

  5.什么叫做映射

  一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:AB”

  给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

  说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:Ⅰ集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是的;Ⅱ集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;Ⅲ不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

  常用的函数表示法及各自的优点:

  1函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2解析法:必须注明函数的定义域;3图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.

  注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值

  补充一:分段函数参见课本P24-25

  在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.1分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;2分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.

  补充二:复合函数

  如果y=fu,u∈M,u=gx,x∈A,则y=f[gx]=Fx,x∈A称为f、g的复合函数。

  例如:y=2sinXy=2cosX2+1

  7.函数单调性

  1.增函数

  设函数y=fx的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1

  如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

  注意:1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;

  2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1

  2图象的特点

  如果函数y=fx在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx在这一区间上具有严格的单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

  3.函数单调区间与单调性的判定方法

  A定义法:

  1任取x1,x2∈D,且x1

  B图象法从图象上看升降_

  C复合函数的单调性

  复合函数f[gx]的单调性与构成它的函数u=gx,y=fu的单调性密切相关,其规律如下:

  函数

  单调性

  u=gx

  增

  增

  减

  减

  y=fu

  增

  减

  增

  减

  y=f[gx]

  增

  减

  减

  增

  注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗?

  8.函数的奇偶性

  1偶函数

  一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有f-x=fx,那么fx就叫做偶函数.

  2奇函数

  一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有f-x=—fx,那么fx就叫做奇函数.

  注意:1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

  2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量即定义域关于原点对称.

  3具有奇偶性的函数的图象的特征

  偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

  总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2确定f-x与fx的关系;3作出相应结论:若f-x=fx或f-x-fx=0,则fx是偶函数;若f-x=-fx或f-x+fx=0,则fx是奇函数.

  注意啊:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,1再根据定义判定;2有时判定f-x=±fx比较困难,可考虑根据是否有f-x±fx=0或fx/f-x=±1来判定;3利用定理,或借助函数的图象判定.

  9、函数的解析表达式

  1.函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

  2.求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数f[gx]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出fx

  10.函数小值定义见课本p36页

  1利用二次函数的性质配方法求函数的小值2利用图象求函数的小值3利用函数单调性的判断函数的小值:如果函数y=fx在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=fx在x=b处有值fb;如果函数y=fx在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=fx在x=b处有最小值fb;

  第二章基本初等函数

  一、指数函数

  一指数与指数幂的运算

  1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根nthroot,其中>1,且∈*.

  当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.此时,的次方根用符号表示.式子叫做根式radical,这里叫做根指数radicalexponent,叫做被开方数radicand.

  当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±>0.由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。

  注意:当是奇数时,,当是偶数时,

  2.分数指数幂

  正数的分数指数幂的意义,规定:

  0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

  指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.

  3.实数指数幂的运算性质

  1?;

  2;

  3.

  二指数函数及其性质

  1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数exponential,其中x是自变量,函数的定义域为R.

  注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.

  2、指数函数的图象和性质

  a>1

  0

  图象特征

  函数性质

  向x、y轴正负方向无限延伸

  函数的定义域为R

  图象关于原点和y轴不对称

  非奇非偶函数

  函数图象都在x轴上方

  函数的值域为R+

  函数图象都过定点0,1

  自左向右看,

  图象逐渐上升

  自左向右看,

  图象逐渐下降

  增函数

  减函数

  在第一象限内的图象纵坐标都大于1

  在第一象限内的图象纵坐标都小于1

  在第二象限内的图象纵坐标都小于1

  在第二象限内的图象纵坐标都大于1

  图象上升趋势是越来越陡

  图象上升趋势是越来越缓

  函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快;

  函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢;

  注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

  1在[a,b]上,值域是或;

  2若,则;取遍所有正数当且仅当;

  3对于指数函数,总有;

  4当时,若,则;

  二、对数函数

  一对数

  1.对数的概念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:—底数,—真数,—对数式

  说明:1注意底数的限制,且;

  2;

  3注意对数的书写格式.

  两个重要对数:

  1常用对数:以10为底的对数;

  2自然对数:以无理数为底的对数的对数.

  对数式与指数式的互化

  对数式指数式

  对数底数←→幂底数

  对数←→指数

  真数←→幂

  二对数的运算性质

  如果,且,,,那么:

  1?+;

  2-;

  3.

  注意:换底公式

  ,且;,且;.

  利用换底公式推导下面的结论1;2.

  二对数函数

  1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是0,+∞.

  注意:1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。

  如:,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

  2对数函数对底数的限制:,且.

  2、对数函数的性质:

  a>1

  0

  图象特征

  函数性质

  函数图象都在y轴右侧

  函数的定义域为0,+∞

  图象关于原点和y轴不对称

  非奇非偶函数

  向y轴正负方向无限延伸

  函数的值域为R

  函数图象都过定点1,0

  自左向右看,

  图象逐渐上升

  自左向右看,

  图象逐渐下降

  增函数

  减函数

  第一象限的图象纵坐标都大于0

  第一象限的图象纵坐标都大于0

  第二象限的图象纵坐标都小于0

  第二象限的图象纵坐标都小于0

  三幂函数

  1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.

  2、幂函数性质归纳.

  1所有的幂函数在0,+∞都有定义,并且图象都过点1,1;

  2时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;

  3时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.

  第三章函数的应用

  一、方程的根与函数的零点

  1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。

  2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即:

  方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.

  3、函数零点的求法:

  求函数的零点:

  1代数法求方程的实数根;

  2几何法对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

  4、二次函数的零点:

  二次函数.

  1△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.

  2△=0,方程有两相等实根二重根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.

  3△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.

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